混沌理论的思想

李方洁

中国中医科学院望京医院

一、混沌的起源

混沌（chaos）理论是数学科学中一门年轻的分支，自理论创立，在科学界广泛被认同，至今只有几十年时间。然而它的建立却经历了漫长而曲折的过程。如Lorenz所概括的那样，是一个从海王星发现时对混沌的毫无认识，直到一个半世纪后人们已经逐渐认识到混沌几乎无处不在的过程。

300年以前，自然科学的研究主要靠经验积累，发展速度受到限制，1686年牛顿《自然哲学的数学原理》的出版，使科学研究的方法学产生了根本的转变，标志着科学冲破经验积累的束缚，进入了用数学方法求索物理机制的崭新阶段。牛顿理论宣布了物质的运动受某些普遍规律的物质原理所支配。

如著名的万有引力定律，天文学家曾用它预测卫星和行星轨道，其精确度令人难以置信，1846年正是通过数学计算，人类发现了海王星，这一事件成为十九世纪计算数学史上最光辉的一页

。但在海王星发现时遇到的所谓“三体”问题，对曾历久不衰的牛顿学说提出挑战。以法国数学家Jules.Henri.Poincare为代表的一批杰出科学家发现了太阳、月亮和地球三者的相对运动（即“三体”问题）不同于单体和二体问题，无法求出精确的解。

1903年Poincare在《科学与方法》一书中提指出，在一定范围内，“三体”问题的解是随机的。其后续的研究成为了混沌理论的开端。

图1-1“混沌之父”E.N.Lorenz与“混沌理论的奠基人”J. H. Poincare

左图气象学家和数学家E.N.Lorenz（1917-2008），右图杰出数学家J.H. Poincare（1854-1912）

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麻省理工学院教授Edward. Norton. Lorenz是一位对大气结构动力学颇有兴趣的气象学家和数学家，1948年他在麻省理工学院进行一项创新性气象理论实验时，发现了现在被称为“混沌”的现象，这种现象的特征是在一个确定性系统中显示出高度随机的性态。以此为契机，Lorenz开始了对此类问题的研究。1961年的一个冬天，在他打印的一份计算机报告中，能够解释混沌现象的图形终于出现了（图1-2）。1963年Lorenz在《大气科学》（Journalof the Atmospheric Science）杂志上发表了一篇关于混沌理论的开创性研究论文“确定性非周期流”，在引起气象学界的热切关注后，又封存了12年之久，终于在整个科学界引发了研究热潮，由此诞生了一门新兴学科。

图1 -2 气象预报的两组数据是怎样分道扬镳的

图左侧的信息输入端两组数据只有微小差异，在右侧的输出端两组数据出现明显差异

二、混沌的概念

混沌理论是一门新兴学科，也是成长中的科学。在传统意义上，混沌一词多用于描述事物混乱无序和杂乱无章的“混沌”或“浑沌”状态。现代意义上的混沌称谓由美籍华裔数学家李天岩和美国数学家J.A.yorke （Li·Yorke)首先提出。1975年Li·Yorke在美国《数学月刊》发表“周期3意味着混沌”的文章，并给出混沌的数学定义，现被称为Li-Yorke定义。自此，混沌被赋予科学的概念，成为科学的专业术语。

有人说，混沌理论令人振奋也令人忧患，因为它不仅是开启简化复杂现象的钥匙，也导致对传统科学真理的怀疑；混沌理论是迷人的也是美的，因为它不仅体现了数学、物理和科学技术的相互作用，还将数学的美渗透到人类生活各各方面。有学者归纳科学界对混沌定义的几种理解：

①随机过程引起的无序状态或专门指确定系统中的内在随机性。

②周期3意味着混沌。

③如果系统似乎作无规律运动，且具有以下四个特点：作为系统基础的动力学是决定的；没有外加噪声（指偶然的涨落）；个别结果敏感地依赖初始条件（即蝴蝶效应），从而其长期行为具有不可预测性；系统长期行为的某些全局特征与初始条件无关。

总之，科学意义上的混沌不是简单的无序和混乱，而是没有明显周期和对称，但却具有丰富内层次的有序状态。诺贝尔物理学奖获得者I.Prigogine(普利高津)指出，混沌与有序同在，混沌系统中，有序通过自组织过程，从无序和混沌中自发产生出来。

混沌系统具有非线性特征，但二者又并非等同。线性过程表现为周期性，而非线性系统是一个不完全的线性过程，其间包含有线性、随机（完全无规律）和混沌。混沌是介于线性与随机之间的动态过渡态，是非线性系统的主要行为模式。

像复杂性一样，混沌也具有不规则性，并且这两种不规则性常同时发生，但二者具有完全不同的概念。复杂性通常指空间形态上的不规则性，而混沌则意味着时间节律上的不规则，混沌是在时间序列的动态变化中表现出来。

三、 混沌理论的要点

1．对初始状态的敏感依赖性（Butterfly Effect）

混沌是在自然界乃至社会中能够广泛观察到的状态，它通过时间序列的“动力系统”表现出来。著名的“蝴蝶效应”是对混沌理论最经典的表述：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性是混沌运动的本质特征。众所周知，初始状态（自变量）的变化，导致后续状态（因变量）成比例的变化是线性系统的特征，而非线性系统的初始状态变化未必导致后续状态成比例的变化。混沌属非线性系统，并且系统中初始状态的微小变化导致非常显著的后续变化，后续状态对初始状态的这种特殊依赖关系，称为“对初始状态的敏感依赖性”。

2．非周期性（nonperiodicity）

混沌是在确定的系统中表现为貌似随机的行为。在混沌的系统中，大多数初始条件会引出非周期行为，因此非周期行为被认为是混沌的基本特征。1975年“周期3意味着混沌”的著名论文指出这种非周期性的含义是：系统中的任意状态与三个时刻前的状态相同，而与一、二个时刻前的状态相异。

3．奇怪吸引子（strange attractor）

混沌系统的行为特性还可以用几何性态表示出来，称“奇怪吸引子”，也称“混沌吸引子”。混沌吸引子的奇怪行为于1961年由日本学者Yoshisuki Ueda（上田皖亮）首先发现。1991年，联合国大学发起组织的“混沌对科学和社会的冲击”国际性学术会议在东京召开，Ueda以诙谐生动的语言，讲述了发现奇怪吸引子过程中经历的欣喜、艰辛与受到的非难。

奇怪吸引子是具有分形（fractal）结构的吸引子，是一种相空间（phase space）结构（用时间序列运动轨迹虚拟描绘的几何构形）。它的维数与系统的复杂性相关，是目前常用于定量表征吸引子几何形态的方法。

另一个定量表征奇怪吸引子的是Lyapunov指数（李雅普诺夫指数），奇怪吸引子的维数可由李雅普诺夫指数而得。有学者概括，混沌一词反映系统的动力学特征，奇怪吸引子则表征吸引子的几何性态。混沌系统的吸引子具有奇异的几何特性，这与周期系统的“平庸吸引子”（periodicattractor）截然不同，数学家将其维数称为“分数维”（fractal dimension）。李雅普诺夫指数和维数是对动力系统进行定量评价的量度，分别量度动力学性态的规则性程度和几何结构，是被广泛用于评价混沌特征的两项指标（图1-3）。

图1-3平庸吸引子与奇怪吸引子

左图是平庸吸引子，内部结构简单，行为轨迹简单而重复，右图是奇怪吸引子，内部结构复杂，行为轨迹不重复；中图行为轨迹有一部分重复，介于周期（平庸吸引子）与混沌（奇怪吸引子）之间

4．自相似性（self - similarity）

自相似性与混沌系统的分形性有关，分形的概念源于维数。维数是确定几何对象中一点位置所需的坐标数，一个点是0维，直线是1维，平面是2维，空间是3维。以曲线、平面或立方体表现的点集（点集：点的任何聚合，通常是一条曲线、一个曲面或其他聚合体结构）分别具有一维、二维、三维的整数维性质，而一些特殊结构的点集缺少这些性质，表现为“奇形怪状”。数学家将这些无法用整数维对其性质结构进行描述的特殊点集的维数定义为“分数维”。具有分数维性质的点集称为“分形”。

在分形系统中，几个适当选择的片段，经适当放大后（数据量足够的情况下），每一个都与系统相同。这意味着每个片段的几个子片段经过放大后，等价于原片段，因而也等价于整个系统，即所谓自相似性。混沌系统与分形系统有密切关系，混沌运动的轨道或奇怪吸引子都是分形。分形是描述混沌运动的一种恰当的几何语言，分形与维数都是研究混沌现象的定量参数（图1-4）。

图1-4 分形

各图是同一份心电数据（同一个动力学系统）不同记录时间长度的心电散点图，各图形轮廓相似（自相似），只是每幅图中的散点密度不同

5．分岔（bifurcation）

混沌状态具有普遍性，它可以持续发生，也可以间歇出现，前者称“完全混沌”，后者称“有限混沌”。完全混沌是指在系统中大多数运动轨迹显示敏感依赖性；有限混沌则指在系统中即有非周期性运动，也有周期或准周期运动。如果系统的时间行为忽而周期，忽而混乱，随机地在两者之间跳跃，则称之为间歇混沌，它源于“倍周期分岔”现象。因此，混沌的特征和程度可以被识别与评价。混沌的程度代表了系统在时间流动过程中所显示的复杂性，研究表明，节律的复杂性即混沌是正常生命活动过程中的普遍现象，混沌行为的丧失则往往是疾病的表征。

四、混沌理论在生命科学中的应用

混沌理论一经问世，很快从数学、天文学和地球科学渗透到物理、化学和生命科学，并扩展至社会科学领域中，成为多学科的研究热点。长期以来，气象学与混沌的亲缘关系不言而喻，而此后，混沌对地球物理学也产生了非常重要的影响，该领域专家认为，天气、气候和地震是典型的混沌吸引子。在社会学方面，从马尔萨斯的人口增长模型，到对经济理论造成的不可忽视的冲击与振奋，都说明了混沌理论存在的普遍意义。

在混沌理论应用的方方面面，生命科学被认为是前景最为美好的领域。实验表明，生物学神经网络存在混沌。大脑是由神经细胞组成的非线性网络，病理方面的实验表明，癫痫和一种具有痴呆表现的遗传性大脑变性与脑电图信号复杂性的降低相关。复杂性的减少与大脑警觉性和智力表现降低有关，睡眠越深，测量的脑电复杂性越低。有人用非线性和混沌与心病学、内科学进行研究，也有类似的发现。

1988年加拿大麦吉尔大学的物理、生理学家Leon Glass（里昂•格拉斯）和另一位生理学家Michael C.Mackey（麦克尔•C•麦基）在《From Clocks to Chaos The Rhythms ofLife Princeton 》这本具有权威性的著作中对人体生理和病理节律的研究，以及若干生物学实例与相关数学模型进行了精辟的论述，受到自然科学界的广泛关注。在评述这本书时,《Nature》提出，当应用数学工作者阅读它时，生理学研究将获益非浅，当应用于医学生理学课程时，医学的面貌将从目前重视结构和局部机制，彻底改变为更加全面的考察相互作用，复杂的动力学系统中的性态。《Science》指出，正是在生物学中，非线性科学可能最终找到其最重要的应用。